Hướng dẫn

Sau đây là hướng dẫn sử dụng blog này.

Nội dung chủ yếu của blog này cơ bản gồm:

1. Các bài giảng, bài tập các môn Xác suất thống kê, Toán cao cấp, Toán kinh tế phục vụ cho việc giảng dạy của cá nhân. Sinh viên xem các page mang tên tương ứng.

2. Đề thi và đáp án sau mỗi kỳ thi của sinh viên. Tiêu đề của mỗi bài viết sẽ chứa đầy đủ các thông tin: học kỳ, lớp, ngày thi. Sinh viên sẽ xem trong Chuyên mục Đề thi-Đáp án (nhìn vào menu bên trái).

3. Các thủ thuật tin học mà cá nhân tự viết. Phần này nằm trong tag thủ thuật. Điều này không phục vụ cho công tác giảng dạy của cá nhân mà vì đó là sở thích của cá nhận tôi.

4. Các bài toán chuyên ngành và có kèm theo chứng minh. Sinh viên của tôi không cần xem và hiểu những bài toán này.

Lưu ý: nếu có gì thắc mắc, người đọc có thể trao đổi bằng cách để lại comments sau mỗi bài viết.

Chúc các bạn sinh viên của tôi thành công trong học tập, thành công trên đường đời sau này.

Tên: Huỳnh Việt Khánh.

Nghề nghiệp: GV toán.

Liên hệ: 0902 999 048

Email: huynhvietkhanh@gmail.com

Facebook: https://www.facebook.com/H.v.khanh

Tweeter: huynhvietkhanh

Nhóm Quaternion Q_8

Như đã giới thiệu về vành chia Quaternion ở đây, bây giờ trong nhóm nhân H^* ta xét nhóm con sinh bởi các phần tử $latex \left\{ { – 1,i,j,k} \right\} $. Nhóm này có các dạng biểu diễn như sau

{Q_8} = \left\langle {x,y:{x^4} = 1,{x^2} = {y^2},xy = {y^{ - 1}}x} \right\rangle ,

hoặc

 {Q_8} = \left\langle { - 1,i,j,k:{{\left( { - 1} \right)}^2} = 1,{i^2} = {j^2} = {k^2} = ijk = -1} \right\rangle .

Dạng biểu diễn thứ nhất sẽ chuyển đựoc về Dạng biểu diễn thứ hai bằng cách đặt x = i , y = j , k = xy . Trong bài viết này sẽ dùng cách biểu diễn thứ hai.

Cấu trúc của nhóm Q_8 như sau.

  1. Q_8 là nhóm không giao hoán, có 8 phần tử là 1, - 1, i, j, k, - i, - j, - k Các phần tử cấp 2 là - 1, các phần tử cấp 4 là $i, j, k, - i, - j, - k.
  2. Tâm của nhóm Q_8 Z = \left\{ {1, -1} \right\} .
  3. Nhóm thương {Q_8}/Z = \left\{ {\overline 1 ,\overline i ,\overline j ,\overline k } \right\}. Nhóm thương này đẳng cấu với nhóm Klein {V_4} = \left\{ {1,\left( {12} \right)\left( {34} \right),\left( {13} \right)\left( {24} \right),\left( {14} \right)\left( {23} \right)} \right\}.
  4. Nhóm các tự đẳng cấu trong Aut\left( {{Q_8}} \right) đẳng cấu với nhóm hoán vị S_4 .

Chứng minh. Việc chứng minh 4. đầu tiên tôi cứ tưởng là dễ, nhưng cuối cùng làm hoài không ra, vỡ mật haha.

Vành chia Quaternion

Ta xét tập hợp sau sau trong vành ma trận {M_2}\left( \mathbb{C} \right))

H = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  z & u \\  { - \overline u } & {\overline z } \\  \end{array} } \right)\left| {z,u \in \mathbb{C}} \right.} \right\},

trong đó \overline z là liên hợp của số phức z .

Rõ ràng nếu \left( {\begin{array}{*{20}{c}}z & u \\{ - \overline u } & {\overline z } \\\end{array} } \right) \ne 0 , tức {\left| z \right|^2} + {\left| u \right|^2} \ne 0 thì đây sẽ là phần tử khả nghịch trong {M_2}\left( \mathbb{C} \right))  với phần tử nghịch đảo là \frac{1}{{{{\left| a \right|}^2} + {{\left| b \right|}^2}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  {\overline z }&{ - u}\\  {\overline u }&z  \end{array}} \right) \in H.

Đặt $latex z = a + bi $ và $latex z = c + di $, trong đó $latex a,b,c,d \in \mathbb{R} $. Lúc này mỗi một phần tử của H sẽ có dạng

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  {a + bi}&{c + di} \\  { - c + di}&{a - bi}  \end{array}} \right) = a\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\  0&1  \end{array}} \right) + b\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  i&0 \\  0&{ - i}  \end{array}} \right) + c\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1 \\  { - 1}&0  \end{array}} \right) + d\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  0&i \\  i&0  \end{array}} \right)

Bây giờ nếu ta đặt {\mathbf{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & 0 \\    0 & 1 \\  \end{array} } \right),{\mathbf{i}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  i & 0 \\  0 & { - i} \\  \end{array} } \right),{\mathbf{j}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  0 & 1 \\  { - 1} & 0 \\  \end{array} } \right),{\mathbf{k}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  0 & i \\  i & 0 \\  \end{array} } \right) thì H  sẽ trở thành một không gian vector 4 chiều trên $latex \mathbb{R} $ với cơ sở là \left\{ {{\bf{1,i,j,k}}} \right\} .

Như vậy, H là một vành chia, vừa là một không gian vector 4 chiều trên $latex \mathbb{R} $. Ta cũng chứng minh được tâm của H chính là $latex \mathbb{R} $.

Đây là vành chia được xây dựng bởi nhà toán học W. R. Hamilton (1805 – 1865).

TN_20122013_LopTrungCap ngày 12/08/2013

Đề thi và đáp án Môn toán, lớp trung cấp khóa 7, khóa thi ngày 12/08/2013

Đọc tiếp

Nhóm có cấp nhỏ hơn 7

Ta sẽ xét các tính chất và cũng như các ví dụ về các nhóm cấp 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Riêng nhóm cấp 1 thì là nhóm đơn vị. Ta cũng dễ dàng có được.

1. Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều cyclic đều cyclic.

Chứng minh. Giả sử nhóm G có cấp là số nguyên tố p . Nếu g \in G là phần tử khác đơn vị thì theo định lý Lagrange thì cấp của g là ước của p , Điều này buộc cấp của g p , vì p là số nguyên tố. Như vậy G là nhóm cyclic sinh bởi phần tử cấp g \square

Từ đây ta dễ dàng có được các mệnh đề sau.

2. Nhóm cấp 2, 3, 5 là nhóm cyclic.

3. Nhóm cấp 4 là nhóm giao hoán.

Chứng minh. Giả sử nhóm G = \left\{ {e;a;b;c} \right\} . Nếu G là nhóm cyclic thì G giao hoán. Nếu G không phải là nhóm cyclic thì theo định lý Lagrange thì các phần tử a , b c đều có cấp 2 . Vì cả ba phần tử này đều khác đơn vị nên ta có

\left. \begin{gathered}  ab \ne a \hfill \\  ab \ne b \hfill \\  \end{gathered} \right\} \Rightarrow ab = c.

Và tương tự như vậy ta cũng chứng minh được ba = c . Nghĩa là a b giao hoán nhau. Và cũng như vậy ta sẽ chứng minh được a , b và c đôi một giao hoán với nhau. Nghĩa là G là nhóm giao hoán. \square

Ví dụ 1. Nhóm Klein V_4 là không phải là nhóm cyclic. Đây là nhóm con của nhóm các phép thế S_4 .

{V_4} = \left\{ {e;\left( {12} \right)\left( {34} \right);\left( {13} \right)\left( {24} \right);\left( {14} \right)\left( {23} \right)} \right\}.

4. Mọi nhóm giao hoán cấp 6 đều cyclic.

Chứng minh. Xem ở đây.

Ví dụ 2. Nhóm đối xứng của tam giác đều là nhóm cấp 6 không giao hoán. Xem ở đây.

Số phần tử của một trường hữu hạn

Số phần tử của một trường hữu hạn là {p^n},n \in {\mathbb{N}^ * }, p là một số nguyên tố. (The finite field has  p^n  elements  for some prime number p and n \in {\mathbb{N}^ * } .)

Chứng minh. Giả F là một trường hữu hạn có có trường con nguyên tố là F_p . Ta dễ dàng kiểm chứng được F là một không gian vector hữu hạn chiều trên F_n , ta gọi x_1, x_2, ..., x_n là cơ sở của không gian vector này. Vì mọi phần tử của x \in F đều có một sự biểu diễn duy nhất

x = {a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n} .

Từ đây suy ra số phần tử của F p^n .

Mọi nhóm giao hoán cấp 6 đều cyclic

Để chứng mình đều này, ta làm một bài tập nhỏ sau:

1. Cho a b là hai phần tử giao hoán nhau của nhóm G lần lượt có cấp là m n . Nếu  m n là hai số nguyên tố cùng nhau thì phần tử ab có cấp là mn .

Chứng minh. Giả sử ab có cấp là k . Vì {\left( {ab} \right)^{mn}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}{\left( {{b^n}} \right)^m} = 1 nên k\left| {mn} \right. . Ta còn có

{\left( {ab} \right)^k} = 1 \Leftrightarrow {a^k} = {b^{ - k}} \Leftrightarrow {a^{nk}} = {b^{ - nk}} = 1 \Rightarrow m\left| {nk} \right. .

Kết hợp với sự kiện m n là hai số nguyên tố cùng nhau ta suy ra m\left| k \right. Tương tự ta cũng chứng minh được  n\left| k \right. Như vậy mn\left| k \right. Do đó k = mn \square

2. Mọi nhóm giao hoán cấp 6 đều cyclic (All abelian groups of six elements are cyclic.)

Bây giờ giả sử G là một nhóm giao hoán cấp 6 . Theo định lý Sylow thì trong G tồn tại phần tử a có cấp 2 và phần tử b có cấp 3 . Bây giờ ta áp dụng kết quả vừa được chứng minh ở trên suy ra ab là phần tử có cấp 6 và đây cũng là phần tử sinh của nhóm cyclic G \square

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.